彩虹也能“生”出小彩虹( 二 ) 生命是近似的艺术。如果我们

【彩虹也能“生”出小彩虹】泰勒级数存在于一整类函数中。并且泰勒定理可以告诉我们近似值与函数的真实值差距有多大。

文章图片
泰勒的失败
泰勒级数在理论上很棒，并且艾里使用与艾里函数相对应的泰勒级数也确实可以计算出x从-5.6取到5.6时函数的值。但仍然有一个障碍。尽管艾里函数的泰勒级数可以收敛到函数本身，但它收敛得太慢了。 “在得到第一个附属条纹前，我们甚至需要计算13到14项”豪斯说， “在1838年这非常困难，因为当时的科学家不得不用手算，这是不切实际的。 ”

文章图片
蓝色曲线是艾里函数，红色曲线保留前三项泰勒级数得到的近似，可以看到近似值只与代表主彩虹的右方第一个凸起相符。图源：豪斯
为了找到一种更简单的近似艾里函数的方法，数学家乔治·加布里埃尔·斯托克斯（GeorgeGabrielStokes）在1850年决定冒险使用一个不收敛的级数做近似。

文章图片
撒旦级数
容易想象，不是所有的级数都收敛在有限值。一个简单地例子是下面这个级数：
当部分和中包含越来越多项时，得到的结果也越来越大，最终超过所有的边界——它们不会接近一个有限值。这个级数会发散到无穷大。
发散级数像马戏团里的野兽，危险但可以用各种技巧控制。在1828年，就在斯托克斯开始研究艾里函数前不久，挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（NielsHenrikAbel）就用“魔鬼的发明”来描述发散级数，并且声称“任何基于发散级数的证明都是可耻的” 。
但斯托克斯在寻求对艾里函数做近似时并没有被吓倒。出于对艾里函数数学本质的深入剖析，他开始考虑运用发散级数。事实上，发散级数给出了一个对艾里函数很好的近似。
“驯兽”的技巧在于知道从哪里停止。由于斯托克斯使用的级数发散到无穷，所以如果部分和中的项数取得过多，近似值会变得巨大并且远远偏离对应的有限大小的艾里函数值。但如果部分和的项数取得刚刚好，那么近似值就会很接近实际函数值。

文章图片
当把发散级数越来越多的项加起来，我们会得到一个越来越大的结果，最终发散至无穷。但是斯托克斯知道对于他使用的发散级数，取适当多的项可以得到艾里函数的一个好的近似。
斯托克斯的精妙方法使他能够“非常方便地”在所求的x值处近似得到艾里函数值，所以他基本上解决了计算出附属彩虹的问题。下图蓝色曲线代表实际的艾里函数，红色曲线代表斯托克斯的近似。可以看到红线对蓝线的拟合非常接近。仅有的不符出现在x=0的附近，在红色曲线发散向无穷的中间。
就彩虹而言，这种差异并不重要，因为我们感兴趣的是艾里函数在x=0左侧代表附属虹的行为。

文章图片
蓝色曲线是实际的艾里函数，红色曲线是斯托克斯的渐进近似。公式给出了在不同部分的近似。图源：豪斯
这里， “渐进”这个词代表近似只在x为足够大的正数和足够小的负数时有效。（类似于我们在学校中学过的直线渐近线。这里给出了渐进的严格定义。）
尽管成功解决了问题，斯托克斯却并不满意。他的近似的两部分由两个十分不同的数学公式描述（在上图给出），令斯托克斯十分困扰。 “斯托克斯想知道的是，如何从一个表达式过渡到另一个。 ”豪斯说， “从1850年到1902年，这个问题一直困扰着他。 ”斯托克斯最终给出的答案显示，当涉及到渐进近似时，微小的指数项可以突然出现然后增长到占据支配地位。各中详情，请听下回分解。
作者：MarianneFreiberger
翻译：藏痴
审校：zhenni
原文链接：
https://plus.maths.org/content/stokes-phenomenon-asymptotic-adventure