数学漫步：复平面上变换、曼德博与茱莉亚分形集合( 二 ) _小知识

首先考虑 c=0 的情况。这时变换实际就是重复 Tc(z)= z2 。每个复数 zn 的模都是前一个的平方。如果 z 的模小于等于 1，即 z 处于以原点为中心半径为 1 的圆内，那么所有的 zn 都将处于圆内。另一方面，如果复数 z 模大于 1 那么 zn 的模会一直增长趋于无穷。z 的轨道最终将超越萤幕！

文章插图

在第一种情况下，我们说轨道是稳定的(stable)，它始终处于平面一块有界区域内。第二种情况下它是不稳定的(unstable)，它趋于无穷。因此使轨道稳定的点 z 的集合是圆。
更普遍地，对于 c 的每一个值，我们也能得到点 z 两种轨道。变换 Tc 下 z 的轨道是稳定的，如果它始终处于平面一块有界区域内，否则就是不稳定的。使轨道稳定的 z 的点集称作变换 Tc 的填充茱莉亚(filled-in Julia set) 。了解这些 Julia 集的结构以及它们如何随 c 变化而变化是解析动力系统(holomorphic dynamical systems)理论的一个重要目的。首先，杜阿迪给我们展示一些在不同的 c 下茱莉亚集合的例子。它们中的一些有奇特的名字，比如「兔子」（你看见它的耳朵了吗？）是在 c= -0.12+0.77i 情况下得到的。
从二十世纪初起人们就知道茱莉亚集合分为两种。它可以像我们展示的例子里一样，是单独一块部分，—用数学家的话来说就是连通的(connected) ——或者它完全不连通，由无穷多个独立的碎片组成，每个的内部都是空集，我们在图像上看不到它！能使我们看见茱莉亚集（茱莉亚集连通）的点 c 的集合称作曼德博集合，为了纪念本华·曼德博。为了了解这集合杜阿迪作；他在证实集合是连通的这方面做出了贡献，他也会很乐意展示给我们集合是局部连通的… …
这章的末尾重在进入绚丽曼德博集合图形之中，欣赏当放大倍数达到了两千亿的数量级后那神奇的世界！
我们可以以两种方式观察这景象。我们可以仅仅欣赏它：它足够美了！或者我们可以问自己一些问题……
比如，颜色的意义是什么？一个古老的定理告诉我们 Julia 集不是连通的（或者说 c 不在 Mandelbrot 集中）当且仅当在变换 Tc 下 0 的轨道是不稳定的。对于给定的 c 值我们观察 Tc 下 z=0 的轨道及其在 n 取值很大时的行为。如果 zn 非常迅速地变大，就意味着 c 不在 Mandelbrot 集中，甚至远离它。如果序列 zn 趋于无穷大，但是更缓慢些，那么 c 仍然不在 Mandelbrot 集中，只是稍微靠近它。c 的颜色取决于序列 zn 趋于无穷的速度，也体现了它离 Mandelbrot 集的「距离」。另一方面如果 zn 处于一块有界区域中，那么 c 在 Mandelbrot 集中，它的颜色也就是黑色。
图中的曼德博色的，但是也有其它着色方法。影片中，我们用「三角不等式」： zn 的模增大超过一确定值时，计算模 A=|zn-z(n-2) |, B=|zn - z(n-1) | 和 C= |z(n-1) - z(n-2) | 。
A/(B+C) 是一个取值总在 0 和 1 之间的量，我们用这个数确定一个调色盘上的位置。
为什么有时我们会看到曼德博集合的小的复制个体？解释这个很困难，这也是杜阿迪的重要发现之一：曼德博集合有自相似性，分形集合的一个常见性质。要想对此了解更多，参见这个页面。