康托尔无穷数理论所带来理性的新危机( 四 ) _小知识

除了我们已经谈及的超限数——称之为超限基数，康托尔还引入了超限序数（ordinal number），二者的区别相当微妙。设想一个集合，比如说，由便士组成的集合，其数目通常是最重要的，而怎样组成则无所谓。但如果按学生们在一次考试中的成绩把他们排名，就会有第一、第二、第三等等。比如说有10 个学生，他们的分数就构成了从第一到第十的集合，且这是由有序数组成的集合。尽管一些早期文明能够区别序数与基数，但他们仍采用同样的符号来表征由10 个对象组成的有序集，就像对无序集所做的那样。这种做法被包括我们自己在内的后续文明所继承。因此，在10个人中的每一个被确定后，这样排列下来的人数是10个，因而无论是有序集还是无序集都用10 来表示。然而，对于无限集合而言，有序与无序的区别是十分重要的，因而采用了不同的符号来表示。比如对于有序自然数集1 ， 2 ， 3 ， … ，康托尔用ω 来表示其序数。相应地，有序集1 ， 2 ， 3 ， … ， 1 ， 2 ， 3 的序数表示为ω+3 。康托尔还引入了超限序数的分层，其可以扩展至ω·ω ， ω^n ， ω^ω 乃至更高。
在创立了超限序数的理论之后， 1895 年康托尔意识到关于这些序数也存在着一个难题。同年他把这个难题告知了希尔伯特。1897 年，布拉利- 福蒂1 首先公开了这一难题。康托尔确信序数的集合可以按某种合适的方式加以排列，正如熟知的实数可以按大小排序一样。一个关于超限序数的定理是这样的，由不超过α 的所有序数组成的集合，其序数大于α 。如序数集1 ， 2 ， 3… ， ω 的序数是ω+1 。因此，由所有序数组成的集合有一个比该集合中最大的序数还要大的序数。实际上，布拉利- 福蒂指出，从1加到最大的序数就可以得到一个更大的序数。但这构成了矛盾，因为原集合已包含了所有的序数。布拉利- 福蒂得出结论，序数能采用的排序观念只可能是偏序的（partial ordering）。
要是仅面对着上述两个问题，大多数数学家毫无疑问会满足于住在19 世纪末数学的严密性所创造的乐园里。关于是否存在最大的超限基数或序数的问题，也可以睁一只眼闭一只眼。毕竟，没有最大的整数这一事实并不使人感到不安。
然而，康托尔的无穷集合论激起了许多反对意见。除了我们讲过的以外，这个理论在许多数学领域中得以应用，而一些数学家仍拒绝接受实无穷集合及其应用。克罗内克与康托尔素来交恶，称康托尔为骗子。庞加莱则认为无限集合论是邪气与病态的坟墓。“下一代人， ”他在1908年说“会把集合论当作数学家从中痊愈的疾病。”许多其他的数学家甚至到19 世纪20 年代还试图避免使用超限数。康托尔为自己的工作辩护，他声称自己是一个柏拉图主义者，相信存在一个独立于人的客观世界。人们不得不考虑这些想法并承认它们的真实性。为了对付哲学家们的批判，康托尔援引了神秘主义，甚至是上帝。
幸运的是，康托尔的理论得到了其他一些人的欢迎，罗素称康托尔是19 世纪最伟大的智士之一。他曾在1910 年说：“解决了先前围绕着数学中关于无限的难题可能是我们这个时代值得夸耀的最伟大的工作。”希尔伯特断言：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去。”他在1926 年评价康托尔的工作时说：“这对我来说是最值得钦佩的数学理智之花，也是在纯粹理性范畴中人类活动所取得的最高成就之一。”
关于集合论产生矛盾的原因，豪斯多夫在他的《集合论基础》（Foundationsof Set Theory ， 1914）中做了相当巧妙的描述，他这样勾勒了这门学科的特点：“在这个领域中什么都不是自明的，真实的陈述常常会引起悖论，而且似乎越有理的东西，往往是错误的。”
然而，康托尔的工作使得大多数数学家感到迷惑不解，原因全然不是因为各种大小不同的无穷集合是否可被接受。康托尔在试图确定所有集合组成的集合的基数和所有序数组成的集合的序数时所发现的矛盾，使数学家们认识到，他们不仅仅是在新的创造中运用了相似的概念，而且在被认为是毫无疑问的经典数学中就加以运用了。他们宁愿把这种矛盾叫作悖论，因为悖论是可以被解决的，而数学家们希望确信这些问题可以被解决，现在通常用的术语是二律背反（antinomies）。